Wir zählen täglich im Dezimalsystem – Basis 10. Dabei nutzen wir die zehn Ziffern 0 bis 9, passend zu unseren zehn Fingern. Dieses System ist intuitiv, doch es gab Alternativen.
Das Duodezimalsystem (Basis 12) war lange populär: 12 Zoll pro Fuß, 12 Pence pro Schilling, 12 Tierkreiszeichen, 12 Monate im Jahr oder 2 × 12 Stunden am Tag. Es verwendet 12 Symbole: 0–9, A, B. Basis 12 eignet sich hervorragend für Kopfrechnen, da 12 durch 2, 3, 4 und 6 teilbar ist – im Gegensatz zu Basis 10 mit nur den Faktoren 2 und 5.
Computer hingegen arbeiten nicht mit Fingern, sondern mit elektrischen Schaltungen, die nur zwei Zustände kennen: Ein (Strom) oder Aus (kein Strom). Daher ist ihr natürliches System binär – Basis 2 – mit den Symbolen 0 und 1. Kombinationen dieser Bits stellen jede Zahl dar, erfordern aber mehr Stellen für große Werte.
Bei ganzen Binärzahlen steht das höchstwertige Bit (MSB) links, das niedrigstwertige (LSB) rechts. Von rechts nach links entspricht jede Position einer höheren Potenz von 2. Nehmen wir 11012: 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 8 + 4 + 0 + 1 = 1310.
Ebenso ist 10002 = 1 × 23 + 0 × 22 + 0 × 21 + 0 × 20 = 8 + 0 + 0 + 0 = 810.
Mit mehr Bits darstellen Sie größere Zahlen. Für Fließkommazahlen fügen Sie einen Binärpunkt ein. Bei 0111.01012 ergibt der Ganzzahlteil 1 × 22 + 1 × 21 + 1 × 20 + 0 × 2-1 = 4 + 2 + 1 + 0 = 7. Der Bruchteil (von links nach rechts): 0 × 2-2 + 1 × 2-3 + 0 × 2-4 + 1 × 2-5 = 0 + 0,125 + 0 + 0,03125 = 0,15625. Gesamt: 7,1562510.
Negative Zahlen sind komplexer – es gibt mehrere Methoden. Einfach ist ein Vorzeichenbit: 001112 = +7, 101112 = -7. Der Standard in Computern ist jedoch das Zweierkomplement: Bits invertieren und 1 addieren. Für -7 aus 001112: Invertieren zu 110002 + 1 = 110012. Umkehrung: 110012 invertieren zu 001102 + 1 = 001112. Effizient für Hardware-Rechnungen!